Was ist ein Venn-Diagramm?


Dieser Leitfaden umfasst die Grundlagen der Venn-Diagramme, ihre lange Entstehungsgeschichte, vielseitigen Anwendungsmöglichkeiten, Beispiele und Symbole, und erklärt die einzelnen Schritte für die Erstellung dieser Diagramme. 

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Was ist ein Venn-Diagramm?

Ein Venn-Diagramm verwendet überlappende Kreise oder andere Formen, um die logische Beziehung zwischen zwei oder mehr Mengen darzustellen. Häufig dienen sie dazu, Dinge grafisch zu organisieren, indem hervorgehoben wird, worin sie sich unterscheiden und wo sie Gemeinsamkeiten besitzen. Venn-Diagramme werden auch als Mengendiagramme oder logische Diagramme bezeichnet und kommen vor allem in der Mathematik, Logik, Statistik, Pädagogik, Linguistik, Informatik und im Geschäftswesen zum Einsatz. Die meisten Menschen lernen diese Diagramme bereits in der Schule im Mathematikunterricht kennen, da die Mengenlehre im Rahmen der Neuen Mathematik Einzug in Lehrpläne gehalten hat. Venn-Diagramme können einfache Diagramme mit zwei oder drei Mengenelementen sein. Oder es handelt sich dabei um anspruchsvolle Diagramme, unter Umständen sogar mit 3D-Präsentationen, wenn sie sechs, sieben oder sogar mehr Mengen umfassen. Mithilfe dieser Diagramme soll illustriert werden, wie Elemente in einem bestimmten „Universum“ oder „Segment“ zueinander in Beziehung stehen. Für Benutzer sind Venn-Diagramme eine hervorragende Möglichkeit, um Daten klar und effektiv zu visualisieren. Aus diesem Grund werden diese Diagramme häufig in Präsentationen und Berichten verwendet. Venn-Diagramme sind eng mit Euler-Diagrammen verwandt. In Euler-Diagrammen werden allerdings nur die tatsächlichen Überschneidungen dargestellt. In Venn-Diagrammen hingegen werden mögliche Überlappungen illustriert, auch wenn eine Menge leer ist.

Venn-Diagramm mit 2 Mengen      Venn-Diagramm mit 2 Mengen     Venn-Diagramm mit 4 Mengen         Venn-Diagramm mit 5 Mengen

Verlauf

Venn-Diagramme sind nach dem britischen Logiker John Venn benannt. Er erwähnte diese Diagramme in einem Schriftstück mit dem Titel „On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings” (Über die schematische und mechanische Darstellung von Behauptungen und Schlussfolgerungen), das 1880 im Philosophical Magazine and Journal of Science erschien.

John Venn

Die Ursprünge dieser Art von Diagramm reichen jedoch sehr viel weiter zurück, und zwar mindestens 600 Jahre. Im 13. Jahrhundert verwendete der Philosoph und Logiker Ramon Llull (gelegentlich auch „Lull“ geschrieben) von Mallorca eine ähnliche Art Diagramm, wie die Autorin M. E. Baron in einem 1969 erschienenen Artikel schrieb, in dem sie die Geschichte des Diagramms zurückverfolgte. Sie erwähnte außerdem den deutschen Mathematiker und Philosophen Gottfried Wilhelm von Leibnitz, da dieser im späten 17. Jahrhundert ähnliche Diagramme gezeichnet hatte.

Ramon Llull

  

Gottfried Wilhelm von Leibniz

Im 18. Jahrhundert erfand der Schweizer Mathematiker Leonard Euler das, was später als Euler-Diagramm bekannt wurde und den direkten Vorläufer des Venn-Diagramms darstellt. Genauer gesagt bezeichnete John Venn seine eigenen Diagramme als Eulersche Kreise, nicht als Venn-Diagramme. Der Begriff Venn-Diagramme wurde erstmals vom amerikanischen Philosophen Clarence Irving (C. I.) Lewis in seinem 1918 veröffentlichten Buch „A Survey of Symbolic Logic“ (Ein Überblick über die symbolische Logik) publiziert.

Venn-Diagramme haben sich im Laufe der letzten 60 Jahre kontinuierlich weiterentwickelt, wozu Experten wie David W. Henderson, Peter Hamburger, Jerrold Griggs, Charles E. „Chip“ Killian und Carla D. Savage beigetragen haben.  Ihre Arbeit beschäftigte sich mit symmetrischen Venn-Diagrammen und deren Beziehung zu Primzahlen, also Zahlen, die nicht durch andere Zahlen, ausgenommen 1, und sich selbst teilbar sind. Eines dieser symmetrischen Diagramme, basierend auf der Primzahl 7, ist unter Mathematikern weithin als „Victoria“ bekannt.

Weitere bedeutende Namen in der Entwicklung des Venn-Diagramms sind A. W. F. Edwards, Branko Grunbaum und Henry John Stephen Smith. Sie veränderten u. a. die Formen in den Diagrammen, um eine einfachere Darstellung von Venn-Diagrammen bei steigender Anzahl von Mengen zu ermöglichen.

Ein einfaches Beispiel

Nehmen wir an, unser Universum ist „Haustiere“, und wir möchten ermitteln, auf welche Art von Haustier unsere Familie sich einigen könnte.

Die Menge „A“ enthält meine Präferenzen: Hund, Vogel, Hamster.

Die Menge „B“ enthält die Präferenzen von Familienmitglied B: Hund, Katze, Fisch.

Die Menge „C“ enthält die Präferenzen von Familienmitglied C: Hund, Katze, Schildkröte, Schlange.

Im Überlappungsbereich, oder der Schnittmenge, der drei Mengen befindet sich nur „Hund“. Sieht so aus, als ob wir uns einen Hund anschaffen.

Natürlich kann die Komplexität von Venn-Diagrammen weit über dieses Beispiel hinausgehen, da sie in diversen Fachgebieten häufig verwendet werden.

Einfaches Venn-Diagramm

Zweck und Vorteile

  • Um Informationen visuell zu organisieren und so die Beziehungen zwischen Mengen bestimmter Gruppen sichtbar zu machen, wie z. B. Gemeinsamkeiten und Unterschiede. Studierende und Fachexperten können von ihnen Gebrauch machen, um die Logik hinter einem Konzept zu durchdenken und die Beziehungen im Rahmen visueller Kommunikation abzubilden. Dieser Zweck kann diverse Anwendungsbereiche umfassen – von grundlegend bis hochkomplex.
  • Um zwei oder mehr Optionen zu vergleichen und deutlich sichtbar zu machen, was diese gemeinsam haben und worin sie sich unterscheiden. Dies kann beispielsweise im Rahmen der Kaufentscheidung für ein wichtiges Produkt oder eine Dienstleistung erfolgen.
  • Um komplexe mathematische Aufgaben zu lösen. Vorausgesetzt natürlich, dass Sie Mathematiker sind.
  • Um Datensätze zu vergleichen, Zusammenhänge zu finden und bestimmte Eintrittswahrscheinlichkeiten vorauszusagen.
  • Um die Logik hinter Aussagen oder Gleichungen zu begründen, z. B. die Boolesche Logik hinter einer Wortsuche, die „oder“ und „und“-Aussagen beinhaltet, und wie diese gruppiert sind.

Verwendungszwecke in verschiedenen Bereichen

  • Mathematik: Venn-Diagramme werden häufig in der Schule eingesetzt, um grundlegende mathematische Konzepte wie Mengen, Vereinigungsmengen und Schnittmengen zu vermitteln. Sie werden außerdem in der höheren Mathematik verwendet, um komplexe Probleme zu lösen, und wurden in wissenschaftlichen Fachzeitschriften bereits ausführlich behandelt. Die Mengenlehre stellt einen ganzen Zweig der Mathematik dar.
  • Statistik und Wahrscheinlichkeit: Statistikexperten verwenden Venn-Diagramme, um die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse vorherzusagen. Dies hängt mit dem Feld der prädiktiven Analytik zusammen. Verschiedene Datensätze können verglichen werden, um das jeweilige Maß an Übereinstimmungen und Unterschieden zu ermitteln.
  • Logik: Venn-Diagramme werden benutzt, um die Gültigkeit bestimmter Argumente und Schlussfolgerungen zu ermitteln. Wenn bei einer deduktiven (schlussfolgernden) Argumentation die Voraussetzungen wahr sind und die Form des Arguments richtig ist, dann muss auch die Schlussfolgerung wahr sein. Wenn z. B. alle Hunde Tiere sind und unser Haustier Mojo ein Hund ist, dann muss Mojo ein Tier sein. Wenn wir Variablen zuweisen, dann sagen wir, dass Hunde C sind, Tiere A sind und Mojo B ist. In Form eines Arguments würden wir sagen: Alle C sind A. B ist C. B ist daher A. Ein zugehöriges Diagramm in der Logik wird als „Wahrheitstabelle“ bezeichnet, in der die Variablen in Spalten aufgeteilt werden, um zu ermitteln, was logisch gültig ist. Ein weiteres damit zusammenhängendes Diagramm bezeichnet man als „Randolph-Diagramm“ oder R-Diagramm, nach dem Mathematiker John F. Randolph. Bei diesem werden Linien verwendet, um Mengen zu definieren.
  • Linguistik: Venn-Diagramme werden verwendet, um die Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen Sprachen zu studieren.
  • Unterrichten von Leseverständnis: Lehrer können Venn-Diagramme einsetzen, um das Leseverständnis ihrer Schüler zu verbessern. Schüler können Diagramme zeichnen, um Ideen, über die sie lesen, zu vergleichen und zu kontrastieren.
  • Informatik: Programmierer können Venn-Diagramme nutzen, um Programmiersprachen und Hierarchien zu visualisieren.
  • Wirtschaft: Venn-Diagramme können verwendet werden, um Produkte, Dienstleistungen, Prozesse und mehr oder weniger alles zu vergleichen und kontrastieren, was sich als Menge darstellen lässt. Darüber hinaus sind sie ein effektives Kommunikationsmittel, um diesen Vergleich zu illustrieren.

 

Venn-Diagramm-Glossar

Menge Eine Ansammlung von Dingen. In Anbetracht der Vielseitigkeit von Venn-Diagrammen kann es sich bei diesen Dingen um praktisch alles handeln. Die Dinge können als „Elemente“, „Objekte“, „Mitglieder“ oder Ähnliches bezeichnet werden. Menge
Vereinigung Alle Elemente in den Mengen. Vereinigung
Schnittpunkt Die Elemente in den Mengen, die sich überschneiden. Gelegentlich auch als Teilmenge bezeichnet. Schnittpunkt
Symmetrische Differenz von zwei Mengen Alles außer der Schnittmenge. symmetrische Differenz zwischen Mengen
Absolutes Komplement Alles, das sich nicht in der Menge befindet. absolutes Komplement
Relatives Komplement  In einer Menge, aber nicht in der anderen. relatives Komplement
Skaliertes Venn-Diagramm Auch als „flächenproportional“ bezeichnet. Die Größe der Kreise (oder anderen Formen) richtet sich nach ihrem proportionalen Anteil am Ganzen. skaliertes Venn-Diagramm
Reuleaux-Dreieck Form, die durch die Schnittmenge von drei Kreisen oder Formen gebildet wird, z. B. in einem Venn-Diagramm. Reuleaux-Dreieck
Mengenbezeichnungen

Die in Venn-Diagrammen abgebildeten Konzepte werden in mathematischer Notation ausgedrückt, z. B. die Bezeichnungen für Mengen und Teilmengen (in Klammern), Vereinigungsmengen (mit einem U-artigen Symbol) und Schnittmengen (mit einem umgedrehten U-Symbol).

 
Mengenlehre Der altehrwürdige Zweig der Mathematik, der sich mit Mengen beschäftigt.  

Etwas Leichteres: Venn-Diagramme jetzt auch auf kleinen Bildschirmen

Nicht viele Diagramme haben ihren Weg in die Popkultur gefunden – bis auf das geschätzte Venn-Diagramm.

  • Drama: In der CBS-Fernsehserie NUMB3RS, die von 2005 bis 2010 ausgestrahlt wurde, benutzt das Mathegenie Charles Eppes ein Venn-Diagramm, um zu ermitteln, welche Verdächtigen mit einer Beschreibung übereinstimmen und für Gewaltverbrechen vorbestraft sind.
  • Comedy: In der NBC-Show „Late Night with Seth Meyers“ hat der Comedian eine wiederkehrende Nummer mit dem Titel „Venn-Diagramme“, in der er zwei scheinbar unverwandte Dinge vergleicht, um deren witzige Gemeinsamkeiten zu finden (so hofft er zumindest).

Schritte zum Zeichnen und Verwenden eines grundlegenden Venn-Diagramms

  1. Bestimmen Sie Ihr Ziel. Was vergleichen Sie, und warum? Das wird Ihnen helfen, Ihre Mengen zu definieren.
  2. Machen Sie ein Brainstorming und listen Sie die Elemente in Ihren Mengen auf, entweder auf Papier oder mithilfe einer Plattform wie Lucidchart.
  3. Verwenden Sie nun Ihr Diagramm, um die Mengen zu vergleichen und zu kontrastieren. So können Sie die Dinge womöglich aus einer neuen Perspektive betrachten und neue Aspekte entdecken, Entscheidungen treffen oder Argumente finden.